Definizione 1. Una piramide si dice regolare se la sua base è un poligono regolare e il vertice di tale piramide è proiettato nel centro della sua base.

Definizione 2. Una piramide si dice regolare se la sua base è un poligono regolare e la sua altezza passa per il centro della base.

Elementi di una piramide regolare

• Si chiama l'altezza di una faccia laterale tracciata dal suo vertice apotema. Nella figura è indicato come segmento ON
• Viene chiamato un punto che collega i bordi laterali e non giace nel piano della base la sommità della piramide(DI)
• Si chiamano triangoli che hanno un lato in comune con la base e uno dei vertici coincidente con il vertice facce laterali(AOD, DOC, COB, AOB)
• Viene chiamato il segmento perpendicolare tracciato attraverso la sommità della piramide al piano della sua base altezza della piramide(OK)
• Sezione diagonale di una piramide- questa è la sezione passante per l'apice e la diagonale della base (AOC, BOD)
• Si chiama poligono che non appartiene ad un vertice della piramide base della piramide(ABCD)

Se alla base piramide regolare si trova un triangolo, un quadrilatero, ecc. poi si chiama triangolare regolare , quadrangolare eccetera.

Una piramide triangolare è un tetraedro: un tetraedro.

Proprietà di una piramide regolare

Per risolvere i problemi, è necessario conoscere le proprietà dei singoli elementi, che di solito vengono omessi nella condizione, poiché si ritiene che lo studente debba saperlo fin dall'inizio.

• le nervature laterali sono uguali tra loro
• gli apotemi sono uguali
• le facce laterali sono uguali tra loro (in questo caso le loro aree, lati e basi sono rispettivamente uguali), cioè sono triangoli uguali
• tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali
• in qualsiasi piramide regolare puoi sia adattare che descrivere una sfera attorno ad essa
• se i centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono, allora la somma degli angoli piani al vertice della piramide è uguale a π, e ciascuno di essi è rispettivamente π/n, dove n è il numero dei lati della base poligono
• L'area della superficie laterale di una piramide regolare è pari alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'apotema
• un cerchio può essere circoscritto attorno alla base di una piramide regolare (vedi anche raggio del cerchio circoscritto di un triangolo)
• tutte le facce laterali formano angoli uguali con il piano della base di una piramide regolare
• tutte le altezze delle facce laterali sono uguali tra loro

Istruzioni per la risoluzione dei problemi. Le proprietà sopra elencate dovrebbero aiutare in una soluzione pratica. Se è necessario trovare gli angoli di inclinazione delle facce, la loro superficie, ecc., La tecnica generale si riduce a dividere l'intera figura volumetrica in figure piatte separate e utilizzare le loro proprietà per trovare i singoli elementi della piramide, poiché molti elementi sono comuni a più figure.

È necessario suddividere l'intera figura tridimensionale in singoli elementi: triangoli, quadrati, segmenti. Successivamente, applica le conoscenze del corso di planimetria ai singoli elementi, il che semplifica notevolmente la ricerca della risposta.

Formule per una piramide regolare

Formule per trovare volume e superficie laterale:

Designazioni:
V - volume della piramide
S - area di base
h - altezza della piramide
Sb - superficie laterale
a - apotema (da non confondere con α)
P - perimetro della base
n - numero di lati della base
b - lunghezza della nervatura laterale
α - angolo piatto al vertice della piramide

È possibile applicare questa formula per trovare il volume soltanto Per piramide corretta:

, Dove

V - volume di una piramide regolare
h - altezza di una piramide regolare
n è il numero dei lati di un poligono regolare, che è la base di una piramide regolare
a - lunghezza del lato di un poligono regolare

Piramide regolare tronca

Se disegniamo una sezione parallela alla base della piramide, allora viene chiamato il corpo racchiuso tra questi piani e la superficie laterale piramide tronca. Questa sezione di una piramide tronca è una delle sue basi.

L'altezza della faccia laterale (che è un trapezio isoscele) si chiama - apotema di una piramide regolare tronca.

Una piramide tronca si dice regolare se la piramide da cui è derivata è regolare.

• Si chiama la distanza tra le basi di una piramide tronca altezza di una piramide tronca
• Tutto facce di una piramide regolare tronca sono trapezi isosceli

Appunti

Guarda anche: casi speciali (formule) per una piramide regolare:

Come utilizzare i materiali teorici forniti qui per risolvere il tuo problema:

Superficie della piramide. In questo articolo esamineremo i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.

La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo tracciato dal vertice di una piramide regolare si chiama apotema, SF - apotema:

Nel tipo di problema presentato di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già discusso diversi problemi con le piramidi regolari, in cui la domanda riguardava la ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale).

I compiti dell'esame di stato unificato di solito esaminano piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato alcun problema con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.

La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:

Consideriamo i compiti:

I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.

La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:

*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.

Possiamo calcolare l'area del lato della piramide utilizzando:

Pertanto, la superficie della piramide è:

Risposta: 28224

I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 22, i bordi laterali sono pari a 61. Trova la superficie laterale di questa piramide.

La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.

La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:

Troviamo l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone:

Pertanto la superficie laterale è:

Risposta: 3240

*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando un'altra formula del triangolo, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.

27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.

Per trovare l'area della piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:

L'area della base è 36 poiché è un quadrato di lato 6.

La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):

*L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.

La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):

Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:

Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide è:

Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:

Risposta: 96

27069. I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie di questa piramide.

27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie laterale di questa piramide.

Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:

P- perimetro della base, l- apotema della piramide

*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.

Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Prima di studiare le domande su questa figura geometrica e sulle sue proprietà, dovresti comprendere alcuni termini. Quando una persona sente parlare di una piramide, immagina enormi edifici in Egitto. Ecco come appaiono quelli più semplici. Ma ne esistono di diversi tipi e forme, il che significa che la formula di calcolo per le forme geometriche sarà diversa.

Tipi di figura

Piramide - figura geometrica, che denota e rappresenta diversi volti. In sostanza, questo è lo stesso poliedro, alla base del quale si trova un poligono, e sui lati ci sono triangoli che si collegano in un punto: il vertice. La figura è disponibile in due tipologie principali:

• corretto;
• troncato.

Nel primo caso la base è un poligono regolare. Qui tutte le superfici laterali sono uguali tra loro e la figura stessa piaceranno all'occhio di un perfezionista.

Nel secondo caso, ci sono due basi: una grande nella parte inferiore e una piccola nella parte superiore, che ripete la forma di quella principale. In altre parole, una piramide tronca è un poliedro con una sezione trasversale parallela alla base.

Termini e simboli

Parole chiave:

• Triangolo regolare (equilatero).- una figura con tre angoli uguali e lati uguali. In questo caso, tutti gli angoli sono di 60 gradi. La figura è il più semplice dei poliedri regolari. Se questa figura si trova alla base, tale poliedro verrà chiamato triangolare regolare. Se la base è quadrata la piramide si chiamerà piramide quadrangolare regolare.
• Vertice– il punto più alto in cui i bordi si incontrano. L'altezza dell'apice è formata da una linea retta che si estende dall'apice alla base della piramide.
• Bordo– uno dei piani del poligono. Può avere la forma di un triangolo nel caso di una piramide triangolare, o di un trapezio nel caso di una piramide tronca.
• Sezione- una figura piatta formata a seguito della dissezione. Non deve essere confuso con una sezione, poiché una sezione mostra anche cosa c'è dietro la sezione.
• Apotema- un segmento disegnato dalla sommità della piramide alla sua base. È anche l'altezza del viso in cui si trova il secondo punto di altezza. Questa definizione è valida solo in relazione ad un poliedro regolare. Ad esempio, se questa non è una piramide tronca, la faccia sarà un triangolo. In questo caso, l'altezza di questo triangolo diventerà l'apotema.

Formule di area

Trova l'area della superficie laterale della piramide qualsiasi tipo può essere eseguito in diversi modi. Se la figura non è simmetrica ed è un poligono con lati diversi, in questo caso è più semplice calcolare la superficie totale attraverso la totalità di tutte le superfici. In altre parole, devi calcolare l'area di ciascuna faccia e sommarle.

A seconda dei parametri conosciuti, potrebbero essere necessarie formule per il calcolo di un quadrato, trapezio, quadrilatero arbitrario, ecc. Le formule stesse in diversi casi avranno anche delle differenze.

Nel caso di una figura regolare, trovare l'area è molto più semplice. È sufficiente conoscere solo alcuni parametri chiave. Nella maggior parte dei casi, i calcoli sono richiesti specificamente per tali cifre. Pertanto di seguito verranno riportate le formule corrispondenti. Altrimenti dovresti scrivere tutto su più pagine, il che non farebbe altro che confonderti e confonderti.

Formula base per il calcolo La superficie laterale di una piramide regolare avrà la seguente forma:

S=½ Pa (P è il perimetro della base ed è l'apotema)

Diamo un'occhiata a un esempio. Il poliedro ha una base con segmenti A1, A2, A3, A4, A5 e tutti sono pari a 10 cm. Sia l'apotema pari a 5 cm. Per prima cosa devi trovare il perimetro. Poiché tutte e cinque le facce della base sono uguali, puoi trovarla così: P = 5 * 10 = 50 cm Successivamente, applichiamo la formula di base: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm quadrati.

Superficie laterale di una piramide triangolare regolare più semplice da calcolare. La formula è simile alla seguente:

S =½* ab *3, dove a è l'apotema, b è la faccia della base. Il fattore tre qui indica il numero di facce della base e la prima parte è l'area della superficie laterale. Diamo un'occhiata a un esempio. Data una figura con apotema di 5 cm e spigolo di base di 8 cm Calcoliamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm quadrato.

Superficie laterale di una piramide troncaÈ un po' più difficile da calcolare. La formula è simile a questa: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, dove p_01 e p_02 sono i perimetri delle basi ed è l'apotema. Diamo un'occhiata a un esempio. Diciamo che per una figura quadrangolare le dimensioni dei lati delle basi sono 3 e 6 cm, e l'apotema è 4 cm.

Qui per prima cosa devi trovare i perimetri delle basi: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Resta da sostituire i valori nella formula principale e otteniamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm quadrato.

Pertanto, puoi trovare la superficie laterale di una piramide regolare di qualsiasi complessità. Dovresti stare attento e non confondere questi calcoli con l'area totale dell'intero poliedro. E se hai ancora bisogno di farlo, basta calcolare l'area della base maggiore del poliedro e sommarla all'area della superficie laterale del poliedro.

video

Questo video ti aiuterà a consolidare le informazioni su come trovare la superficie laterale di diverse piramidi.

Piramide triangolareè un poliedro la cui base è un triangolo regolare.

In una tale piramide, i bordi della base e i bordi dei lati sono uguali tra loro. Di conseguenza, l'area delle facce laterali si ottiene dalla somma delle aree di tre triangoli identici. Puoi trovare la superficie laterale di una piramide regolare usando la formula. E puoi effettuare il calcolo più volte più velocemente. Per fare ciò, è necessario applicare la formula per l'area della superficie laterale di una piramide triangolare:

dove p è il perimetro della base, i cui lati sono tutti uguali a b, a è l'apotema abbassato dall'alto a questa base. Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di una piramide triangolare.

Problema: Sia data una piramide regolare. Il lato del triangolo alla base è b = 4 cm L'apotema della piramide è a = 7 cm Trova l'area della superficie laterale della piramide.
Poiché, a seconda delle condizioni del problema, conosciamo le lunghezze di tutti gli elementi necessari, troveremo il perimetro. Ricordiamo che in un triangolo regolare tutti i lati sono uguali e, quindi, il perimetro si calcola con la formula:

Sostituiamo i dati e troviamo il valore:

Ora, conoscendo il perimetro, possiamo calcolare la superficie laterale:

Per applicare la formula dell'area di una piramide triangolare per calcolare il valore completo, è necessario trovare l'area della base del poliedro. Per fare ciò, utilizzare la formula:

La formula per l'area della base di una piramide triangolare può essere diversa. È possibile utilizzare qualsiasi calcolo dei parametri per una determinata cifra, ma molto spesso ciò non è richiesto. Consideriamo un esempio di calcolo dell'area della base di una piramide triangolare.

Problema: In una piramide regolare, il lato del triangolo alla base è a = 6 cm.
Per calcolare abbiamo solo bisogno della lunghezza del lato del triangolo regolare situato alla base della piramide. Sostituiamo i dati nella formula:

Molto spesso è necessario trovare l'area totale di un poliedro. Per fare ciò, dovrai sommare l'area della superficie laterale e della base.

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di una piramide triangolare.

Problema: Sia data una piramide triangolare regolare. Il lato di base è b = 4 cm, l'apotema è a = 6 cm Trova l'area totale della piramide.
Per prima cosa troviamo l'area della superficie laterale utilizzando la formula già nota. Calcoliamo il perimetro:

Sostituisci i dati nella formula:
Ora troviamo l'area della base:
Conoscendo l'area della base e della superficie laterale, troviamo l'area totale della piramide:

Quando calcoli l'area di una piramide regolare, non dovresti dimenticare che la base è un triangolo regolare e molti elementi di questo poliedro sono uguali tra loro.

L'area della superficie laterale di una piramide regolare è pari al prodotto del suo apotema per metà del perimetro della base.

Per quanto riguarda la superficie totale, aggiungiamo semplicemente la superficie di base a quella laterale.

La superficie laterale di una piramide regolare è pari al prodotto del semiperimetro della base e dell'apotema.

Prova:

Se il lato della base è a, il numero dei lati è n, allora la superficie laterale della piramide è uguale a:

un l n/2 = un n l/2 = pl/2

dove l è l'apotema e p è il perimetro della base della piramide. Il teorema è stato dimostrato.

Questa formula si legge così:

L'area della superficie laterale di una piramide regolare è pari alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'apotema della piramide.

La superficie totale della piramide si calcola con la formula:

S pieno =S lato +S di base

Se la piramide è irregolare la sua superficie laterale sarà uguale alla somma delle aree delle sue facce laterali.

Volume della piramide

Volume la piramide è pari ad un terzo del prodotto dell'area della base e dell'altezza.

Prova. Inizieremo da un prisma triangolare. Disegniamo un piano che passa per il vertice A" della base superiore del prisma e il bordo opposto BC della base inferiore. Questo piano taglierà la piramide triangolare A" ABC dal prisma. Scomporremo la restante parte del prisma in corpi solidi, disegnando un piano passante per le diagonali A"C e B"C delle facce laterali. Anche i due corpi risultanti sono piramidi. Considerando il triangolo A"B"C" come base di uno di essi, e C come vertice, vediamo che la sua base e altezza sono uguali a quelle della prima piramide che abbiamo tagliato, quindi le piramidi A"ABC e CA"B"C" hanno la stessa dimensione. Inoltre, entrambe le nuove piramidi CA"B"C" e A"B"BC hanno anche la stessa dimensione - questo risulterà chiaro se prendiamo i triangoli BBC" e B"CC " come le loro basi. "I soli hanno un vertice comune A", e le loro basi si trovano sullo stesso piano e sono uguali, quindi le piramidi hanno la stessa dimensione. Quindi, il prisma è scomposto in tre piramidi di uguale dimensione; il volume di ciascuno di essi è pari ad un terzo del volume del prisma quindi, in generale, il volume di una piramide n-gonale è pari ad un terzo del volume di un prisma della stessa altezza e della stessa (. o uguale) base Ricordando la formula che esprime il volume di un prisma, V=Sh, otteniamo il risultato finale: V=1/3Sh.