Olles seda probleemi kaalunud, tõestas Euler 1736. aastal, et see on võimatu, ja käsitles üldisemat probleemi: millistel jõeharudega eraldatud ja sildadega ühendatud aladel saab igal sillal täpselt ühe korra ringi käia ja millised võimatud.
Königsbergi sillad">
Muudame probleemi veidi. Märgistame iga vaadeldavat ala, mida eraldab jõgi, punktiga ja neid ühendavaid sildu lõiguga (mitte tingimata sirgjoonega). Seejärel töötame plaani asemel lihtsalt kindla kujundiga, mis koosneb kõverate ja sirgjoonte segmentidest. Tänapäeva matemaatikas nimetatakse selliseid kujundeid graafideks, segmente servadeks ja punkte, mis servi ühendavad, tippudeks. Siis on algülesanne võrdväärne järgmisega: kas antud graafikut on võimalik joonistada ilma pliiatsit paberilt tõstmata ehk nii, et igast selle servast läbitakse täpselt üks kord?
Selliseid graafikuid, mida saab joonistada ilma pliiatsit paberilt tõstmata, nimetatakse ühekursiliseks (ladina keelest unus cursus – üks tee) ehk Eulerian. Niisiis, probleem püstitatakse järgmiselt: millistel tingimustel on graafik ühekursiline? On selge, et ühekursiline graaf ei lakka olemast unikursaalne, kui muudetakse selle servade pikkust või kuju, samuti muudetakse tippude asukohta – seni kuni ei muutu tippude seos servadega (s. mõte, et kui kaks tippu on ühendatud, peaksid need jääma seotuks ja kui need on eraldatud, siis lahutatuks).
Kui graaf on ühekursiline, siis on ka topoloogiliselt samaväärne graaf unikursaalne. Ühtsus on seega graafi topoloogiline omadus.
Esiteks peame eristama ühendatud graafikuid lahtiühendatud graafikutest. Ühendatud kujundid on sellised, et mis tahes kahte punkti saab ühendada mõne selle kujundi juurde kuuluva tee kaudu. Näiteks on enamik vene tähestiku tähti ühendatud, kuid täht Y mitte: selle vasakult poolelt paremale on võimatu liikuda mööda selle tähe juurde kuuluvaid punkte. Ühendus on topoloogiline omadus: see ei muutu, kui figuuri teisendada ilma katkestusteta või liimimata. On selge, et kui graafik on ühekursiline, siis tuleb see ühendada.
Teiseks võta arvesse graafiku tippe. Nimetame tipu indeksiks sellest tipust leitud servade arvu. Nüüd küsime endalt: millega saavad ühekursilise graafi tippude indeksid olla võrdsed?
Siin võib olla kaks juhtumit: graafiku joon võib alata ja lõppeda samas punktis (nimetagem seda "suletud teeks") või võib-olla erinevates punktides (nimetagem seda "avatud teeks"). Proovige ise selliseid jooni tõmmata - mis iganes iselõikekohtadega soovite - topelt-, kolmik- jne (selguse huvides on parem, et servi ei oleks rohkem kui 15).
On lihtne näha, et suletud tee puhul on kõigil tippudel paarisindeks ja avatud teel täpselt kahel on paaritu indeks (see on tee algus ja lõpp). Fakt on see, et kui tipp ei ole esialgne ega viimane, siis pärast selleni jõudmist peate sellest väljuma - seega kui palju servi sellesse siseneb, väljub sellest sama arv ja sissetulevate ja väljuvate tippude koguarv servad on ühtlased. Kui algustipp langeb kokku lõpptipuga, siis on ka selle indeks paaris: sellest väljunud äärte arv, sama arv, mis sisenes. Ja kui alguspunkt ei ühti lõpp-punktiga, siis on nende indeksid paaritu: peate lähtepunktist üks kord väljuma ja siis, kui sinna tagasi pöördume, siis uuesti väljuma, kui naaseme uuesti, väljuge uuesti jne. .; aga peame finaali tulema ja kui sealt siis lahkume, siis jälle tagasi jne.
Seega, et graafik oleks ühekursiline, peab kõigil selle tippudel olema paarisindeks või paaritu indeksiga tippude arv oleks võrdne kahega.
 |
Arvutage selle tippude indeksid ja veenduge, et see ei saaks olla ühekursiline. Sellepärast sul ei õnnestunud, kui tahtsid kõik sillad ümber käia...
Tekib küsimus: kui ühendatud graafil pole paaritu indeksiga tippe või täpselt kaks sellist tippu, siis kas graaf on tingimata ühekursiline? Seda saab rangelt tõestada, et jah! Seega on unicursity üheselt seotud paaritu indeksiga tippude arvuga.
Harjutus: ehitage Königsbergi sildade skeemile veel üks sild - kuhu soovite -, et tekkivate sildade ümber saaks käia, olles igaüht täpselt korra külastanud; tõesti minna seda teed.
Nüüd on veel üks huvitav fakt: Selgub, et igast sildadega ühendatud alade süsteemist saab mööda minna, kui iga silda on vaja külastada täpselt kaks korda! Proovige seda ise tõestada.
| FOORUMI UUDISED Eetri teooria rüütlid | 01.10.2019 - 05:20: -> - Karim_Khaidarov. 30.09.2019 - 12:51: |
Kaliningradi linna (Koningsbergi) 7 silda viisid Leonhard Euleri nn graafiteooria loomiseni.
Graaf on teatud arv sõlmpunkte (tippe), mis on ühendatud servadega. Kaks saart ja kallast Pregeli jõel, kus ta seisis, olid ühendatud 7 sillaga. Kuulus filosoof ja teadlane I. Kant, kõndides mööda Königsbergi sildu, tuli välja probleemiga, mis on maailmas kõigile tuntud kui "7 Königsbergi silla" probleem: kas on võimalik kõndida üle kõigi nende sildade ja nende sildade juures. samal ajal naasta marsruudi alguspunkti, et kõndida mööda igat silda ainult üks kord?
Paljud on püüdnud seda probleemi lahendada nii praktiliselt kui ka teoreetiliselt. Kuid see ei õnnestunud kellelgi. Seetõttu arvatakse, et 17. sajandil alustasid elanikel eriline traditsioon: linnas ringi jalutades ületada kõik sillad ainult üks kord. Kuid loomulikult ei õnnestunud see kellelgi.
1736. aastal huvitas see probleem teadlast Leonhard Eulerit, kes oli silmapaistev ja kuulus matemaatik ning Peterburi Teaduste Akadeemia liige, kes suutis leida reegli, tänu millele oli võimalik see mõistatus lahendada. Euler tegi oma otsuste käigus järgmised järeldused: 1. graafi paaritute tippude (tippude, kuhu viib paaritu arv servi) arv peab olema paaris. Ei saa olla graafikut, millel on paaritu arv paarituid tippe. 2. Kui kõik graafiku tipud on paaris, siis saab graafiku joonistada ilma pliiatsit paberilt tõstmata ning alustada graafiku suvalisest tipust ja lõpetada sama tipuga. 3. Rohkem kui 2 paaritu tipuga graafikut ei saa ühe tõmbega joonistada.
Sellest võib järeldada, et kõiki seitset silda on võimatu ületada, ületamata ühte neist kaks korda. Hiljem sai see graafiteooria side- ja transpordisüsteemide kujundamise aluseks ning seda kasutati laialdaselt programmeerimises, arvutiteaduses, füüsikas, keemias ja paljudes teistes teadustes ja valdkondades.
On tähelepanuväärne, et ajaloolased usuvad, et on inimene, kes selle probleemi lahendas, et ta suutis ületada kõik sillad ainult ühe korra, kuigi teoreetiliselt...
Ja see oli nii. Keiser (see tähendab keiser) Wilhelm oli kuulus oma mõtlemise lihtsuse, otsekohesuse ja "läheduse poolest". Kord langes ta peaaegu nalja ohvriks, mis temaga selgeks sai – naljamehed näitasid keisrile Königsbergi linna kaarti ja palusid tal proovida lahendada see kuulus probleem, mis definitsiooni järgi oli lahendamatu. Kuid Kaiser palus ainult paberit ja pastakat, täpsustades, et lahendab selle kõigest 1,5 minutiga. Teadlased olid üllatunud - Wilhelm kirjutas: "Ma tellin Lomze saarele kaheksanda silla ehitamise." See on kõik, probleem on lahendatud... Ja nii tekkis Kaliningradi uus kaheksas üle jõe sild, mis sai nime keisri auks. Ka laps saab probleemi lahendada kaheksa sillaga...
Kas teadsite, et Koeningsbergi linna (praegu nimetatakse seda linna Kaliningradiks) seitse silda said Leonhard Euleri graafiteooria loomise "süüdlasteks" (graaf on teatud arv sõlmpunkte (tippe), mis on ühendatud servadega) . Aga kuidas see juhtus?
Kaks saart ja kallast Pregeli jõel, millel Koeningsberg asus, olid ühendatud 7 sillaga. Kuulus filosoof ja teadlane Immanuel Kant, kõndides mööda Königsbergi linna sildu, püstitas kõigile maailmas kõigile tuntud Königsbergi 7 silla probleemina probleemi: kas on võimalik kõndida üle kõigi nende sildade ja samal ajal. naasta marsruudi alguspunkti, et ületada iga silda ainult 1 kord. Paljud on püüdnud seda probleemi lahendada nii praktiliselt kui ka teoreetiliselt. Kuid see ei õnnestunud kellelgi, samuti ei olnud võimalik tõestada, et see oli võimatu isegi teoreetiliselt. Seetõttu arvatakse ajalooliste andmete põhjal, et 17. sajandil kujunes elanikel välja eriline traditsioon: linnas ringi jalutades ületada kõik sillad vaid korra. Kuid nagu teate, see ei õnnestunud kellelgi.
1736. aastal huvitas see probleem teadlast Leonhard Eulerit, silmapaistvat ja kuulsat matemaatikut ning Peterburi Teaduste Akadeemia liiget. Ta kirjutas sellest oma sõbrale, teadlasele, itaalia insenerile ja matemaatikule Marionile saadetud kirjas 13. märtsil 1736. Ta leidis reegli, mille abil sai hõlpsasti ja lihtsalt vastuse sellele kõiki huvitavale küsimusele. Koeningsbergi linna ja selle sildade puhul osutus see võimatuks.
Arutlemise käigus jõudis Euler järgmistele teoreetilistele järeldustele:
Graafi paaritute tippude arv (tipud, kuhu viib paaritu arv servi) peab olema paaris. Ei saa olla graafikut, millel on paaritu arv paarituid tippe.
Kui kõik graafiku tipud on paaris, saate joonistada graafiku ilma pliiatsit paberilt tõstmata ning alustada graafiku mis tahes tipust ja lõpetada sama tipuga.
Rohkem kui 2 paaritu tipuga graafikut ei saa ühe tõmbega joonistada 
Kui arvestada seda reeglit Koeningsbergi 7 silla puhul, siis joonisel (graafikul) on linnaosad tähistatud tippudega ja sillad neid tippe ühendavate servadega. 7 Königsbergi silla graafikul oli 4 paaritut tippu (st kõik selle tipud olid paaritud), mistõttu on võimatu kõndida üle kõigi 7 silla, ilma et ükski neist kaks korda läbi tuleks.
Näib, et sellisel ebatavalisel avastusel ei saa olla tegelikku rakendust ega praktilist kasu. Kuid kasutust leiti ja veel. Leonhard Euleri loodud graafikuteooria pani aluse side- ja transpordisüsteemide projekteerimisele, seda kasutatakse programmeerimises ja arvutiteaduses, füüsikas, keemias ning paljudes teistes teadustes ja valdkondades.
Kuid kõige huvitavam on see, et ajaloolased usuvad, et on olemas inimene, kes selle probleemi lahendas, ta suutis kõik sillad ületada vaid korra, kuigi teoreetiliselt, kuid lahendus oli... Ja nii see juhtus...
Keiser (keiser) Wilhelm oli kuulus oma mõtlemise lihtsuse, otsekohesuse ja sõdurliku "kitsarinnalisuse" poolest. Ühel päeval seltskondlikul üritusel olles sai ta peaaegu nalja ohvriks, mille vastuvõtul viibinud õpetatud vaimud otsustasid temaga mängida. Nad näitasid keisrile Königsbergi linna kaarti ja palusid tal proovida lahendada see kuulus probleem, mis definitsiooni järgi oli lihtsalt lahendamatu. Kõigi üllatuseks palus keiser paberit ja pastakat ning täpsustas samas, et lahendab selle probleemi vaid pooleteise minutiga. Hämmastunud teadlased ei uskunud oma kõrvu, kuid tema jaoks leiti kiiresti tint ja paber. Keiser pani paberi lauale, võttis pastaka ja kirjutas: "Tellin kaheksanda silla ehitamiseks Lomze saarele." Ja kogu probleem on lahendatud.....
Nii tekkis Königsbergi linna uus 8. sild üle jõe, mis sai nimeks Kaiseri silla. Ja nüüd saab isegi laps probleemi lahendada 8 sillaga .
Ebatavalised lahendused probleemile
Kaiseri "lahendus"
Vana Königsbergi kaardil oli teine sild, mis tekkis veidi hiljem ja ühendas Lomse saart lõunaküljega. See sild võlgneb oma välimuse Euler-Kanti probleemile endale. See juhtus järgmistel asjaoludel.
Keiser Wilhelm oli tuntud oma otsekohesuse, mõtlemise lihtsuse ja sõdurliku "kitsarinnalisuse" poolest. Ühel päeval seltskondlikul üritusel olles sai ta peaaegu nalja ohvriks, mille vastuvõtul viibinud õpetatud vaimud otsustasid temaga mängida. Nad näitasid keisrile Königsbergi kaarti ja palusid tal proovida lahendada see kuulus probleem, mis definitsiooni järgi oli lahendamatu. Kõigi üllatuseks palus keiser pastakat ja paberit, öeldes, et lahendab probleemi pooleteise minutiga. Hämmastunud Saksa asutus ei uskunud oma kõrvu, kuid paber ja tint leiti kiiresti.
Keiser pani paberi lauale, võttis pastaka ja kirjutas järgmise: "Tellin kaheksanda silla ehitamiseks Lomze saarele." Nii ilmus see Königsbergis uus sild, mida kutsuti "Kaiseri sillaks". Ja nüüd võiks isegi laps kaheksa sillaga probleemi lahendada.
Vaata ka
Kirjandus
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
13. sajandil tekkinud Königsbergi linn koosnes formaalselt kolmest iseseisvast linnalisest asulast, mitmest asulast ja linnast. Need asusid Pregeli jõe kallastel ja saartel, mis jagasid linna neljaks põhiosaks: Altstadt ja Löbenicht, Kneiphof, Lomse, Fortstadt. Linnaliste asulate vaheliseks suhtlemiseks ja kaubavahetuseks hakati sildu ehitama 14. sajandil.
Poolast ja Leedust lähtuva pideva sõjalise ohu tõttu ehitati kummagi silla ette kaitsesild ehk nn. Lukustatavate peapealsete või kahekordsete sepisvoodriga tammepuidust väravatega vaatetorn. Ja sillad ise omandasid kaitserajatiste iseloomu.
Sillad olid rongkäikude, usuliste ja pidulike sündmuste ning rongkäikude kohaks ning aastatel nn. “Esimesel vene ajal” (1758–1762), kui Koenigsbergist sai seitsmeaastase sõja ajal Vene impeeriumi osa, toimusid üle sildade õigeusu usurongkäigud. Kunagi oli selline vaimulik rongkäik pühendatud õigeusu Pregeli jõe vee õnnistamise pühale, mis äratas Koenigsbergi põliselanikes tõelise huvi.
20. sajandi alguseks olid kõik seitse silda ülestõstetavad, kuid Pregeli jõe äärde meresõidu nõrgenemise ja languse tõttu ei ole kolm tänapäevani säilinud silda enam joonistatavad.
Kauplusesild, Krämerbrücke
Königsbergi seitsmest sillast vanim on Lavochny sild(Krämerbrücke), mis ühendas Altstadti linna (kuninglik loss) ja Kneiphofi saart.
1286. aastal ehitatud, 1900. aastal ehitati vana puitsilla kohale uus metallsild. Silla nimi viitab sellele, et see ise ja sellega külgnev Pregolya jõe territoorium oli kaubanduse koondumine.
Silla sissepääsu juurde paigaldati Kneiphofi kingsepa poja Hans Zagani kuju. Legendi järgi tõstis Hans Saksa ordu vägede ja liivlaste vägede vahelise lahingu ajal Rudau lähedal (Melnikovo küla, Zelenogradi oblastis) haavatud rüütli käest ordulipu. 1933. aastal Saksamaal võimule tulnud natsid lammutasid ideoloogilistel ja moraalsetel põhjustel Zagani monumendi, kuna ta oli juut.
1972. aastal lammutati Estakadnõi silla ehitamise tõttu.
Lavochny sild. Taamal on laod ja laeva laadimisala – Lastadie
Lavochnõi sild sadamaladude-lautadega Speicher (Speicher) Pregeli jõe paremal kaldal. Rajoonid Laak ja Hundegatt. Vasakul on Kneiphofi saar
Roheline sild, GrüneBrücke
Königsbergi vanuselt teine sild on Roheline sild. Ehitatud 1322. aastal. Sild põles 1582. aastal, ehitati 1590. aastaks uuesti üles ja eksisteeris puidust 1907. aastani, mil asendati metallsillaga.
Ühendas Kneiphofi saare ja Fortstadti piirkonna Pregolya jõe vana haru kaudu reisimiseks alates Kuninglik loss Ponarti eeslinna. Silla enda nimi tuleneb värvi värvist, millega värviti silla sildevahesid ja tugesid.
17. sajandil oli Roheline sild kuuldi kirju jõudmas Königsbergi. Ootan posti Roheline sild Linna ärimehed kogunesid ja arutasid kirjavahetust oodates oma tegemisi. Aastal 1623, täpselt umbes Roheline sild Ehitati Koenigsbergi kaubandusbörs.
1972. aastal langes Roheline sild, nagu ka Lavochny sild, estakaadi silla ohvriks.
Roheline sild. Vaade Kneiphofi saarelt
Vaade Rohelisele sillale ja kaubabörsile
Giblet (töötav) sild, Koettel brücke
Aastal 1377, pärast Lavochny ja Greeni silda, ülesvoolu Pregeli jõe vanast sängist, Rups või Tööline sild, mis ühendas ka Kneiphofi saart ja Forstadti piirkonda.
Mõlemad tõlkevõimalused pole ideaalsed, sest... Silla saksakeelne nimi pärineb Saksimaalt ja tähendab venekeelses versioonis umbkaudu "abi, töötav, prügiveoks mõeldud" silda. Tõenäoliselt võlgneb see oma nime lähedal asuvale tapamajale.
1886. aastal ehitati puidust ümber raudseks.
Teise maailmasõja ajal Gibleti sild hävis ja enam ei ehitatud.
Gibleti sild. Vaade kaubabörsile Kneiphofi saarelt
Gibleti sild. Vaade Roheliselt sillalt
Forge Bridge, Schmitderbrüke
1397. aastal püstitati Königsbergis, Pregeli jõe uuest sängist ülesvoolu Sepikoja sild, mis sarnaselt Lavochny sillaga ühendas Altstadti linna ja Kneiphofi saart.
Sepad asusid traditsiooniliselt selle silla lähedal Pregeli jõe kaldal.
1787. aastaks oli sild väga kulunud ja lagunenud ning selle asemele ehitati uus, aga ka puidust sild. 1896. aastal püstitati vana puitsilla kohale uus metallsild.
Forge Bridge hävis Teise maailmasõja ajal ja seda ei ehitatud kunagi uuesti.
Sepisild koos vaatetorniga
Kuznechny sild
Puidust sild, Holzbrücke
1404. aastal ehitati Altstati ja Lomze saare vahele neljakordne sild, mis sai nimeks Wooden.
Puusilla peal oli mälestustahvel katkenditega Preisi kroonikast. Albrecht Lukhel Davidi kümneköiteline teos ise rääkis muistsest paganlikust Preisimaast ja Saksa ordu ajaloost kuni 1410. aastani.
1904. aastal püstitati vana puitsilla kohale uus metallsild, kuid silla nimi jäi samaks. Puitsild on sellisel kujul säilinud tänapäevani.
Puidust sild. Vaade Kneiphofi saarele
Kõrge sild, Hohebrücke
Ehitatud 1520. aastal Königsbergis Lomse saare ja Forstadti piirkonna ühendamiseks.
See rekonstrueeriti 1882. aastal, puitosad asendati metallosadega. Samal aastal kõrval Kõrge sild Forstadti piirkonda püstitati sillamaja. See kaunis väike neogooti stiilis hoone on säilinud tänapäevani.
1937. aastal võeti vana lahti ja lähedusse ehitati metallist uus betoontugedega. Vanast Kõrge sild Säilinud on betoon-tellistest toed.
Kõrge sild. Vaade Lomse saarele
Kõrge sild. Vaade Lomse saarelt Forstadti linnaosale
Honey Bridge, Honigbrücke
Königsbergi seitsmest sillast noorim ühendas Lomse saart ja Kneiphofi saart.
Nime päritolu kohta on mitu versiooni Mesi sild. Neist ühe väitel maksis Kneiphofi raekoja liige Besenrode silla ehituse eest meetünnidega, muul viisil maksti meega silla lähedal asuva kauplemisposti ehituse eest. Kuid need versioonid on ilmselt vaid linnalegendid.
Tõenäoliselt pärineb silla nimi sõnast “hon”, mis tähendab mõnitamist (pilkamist). Selle silla ehitamisega said Kneiphofi saare elanikud Altstadtile kuulunud Kõrgsillast mööda minnes lühima tee Lomse saarele. Nii sai sellest justkui Königsbergi peamise linna - Altshadti - mõnitamine. Selle eest andsid altstadlased hüüdnimeks kneiphofiidid – meelakkujad.
1882. aastal püstitati vana Meesilla kohale uus metallsild.
Mesi sild. Vaade Kneiphofi saarele ja katedraalile
Säilinud tänapäevani ja kasutatakse peamiselt kui jalakäijate sild, kuna praegu asub Kaliningradi linna peamisel vaatamisväärsusel Kneiphofi saarel vaid katedraal. Tänapäeval riputavad noorpaarid oma nimede ja pulmakuupäevaga tabalukud reelingute külge. Mesi sild, ja lukkude võtmed murtakse ja visatakse Pregeli jõkke.
Königsbergi seitsme silla probleem, Leonhard Euler ja graafiteooria
Königsbergi elanikud on iidsetest aegadest saati võidelnud mõistatusega: kas on võimalik ületada kõik sillad, ületades neist ainult ühe korra? See probleem lahendati nii teoreetiliselt, paberil kui ka praktikas jalutuskäikudel - mööda neid sildu mööda minnes. Keegi ei suutnud tõestada, et see oli võimatu, kuid keegi ei suutnud teha nii "salapärast" jalutuskäiku üle sildade.
1736. aastal asus kuulus matemaatik, Peterburi Teaduste Akadeemia liige Leonhard Euler lahendama seitsme silla probleemi. Samal aastal kirjutas ta sellest insenerile ja matemaatikule Marionile. Euler kirjutas, et on leidnud reegli, mille järgi pole raske välja arvutada, kas kõiki sildu on võimalik ületada ilma ühtegi neist kaks korda ületamata. Königsbergi seitsmel sillal on seda võimatu teha.
Linnaskeemil (graafikul) vastavad graafiku servad sildadele ja graafiku tipud (punktid, kus jooned ühenduvad) vastavad linnaosadele. Probleemi üle mõtiskledes jõudis Euler järgmistele järeldustele:
graafi tipud võivad olla paaris või paaritud- ühe pliiatsitõmbega saate joonistada graafiku, mille kõik tipud on paaris, võite alustada mis tahes graafiku tipust ja lõpetada sama tipuga
- paaritute tippude arv (need, milleni viib paaritu arv servi) peab olema paaritu; paaritu arvu tippudega graafikut ei eksisteeri
- Rohkem kui kahe paaritu tipuga graafikut on ühe tõmbega võimatu joonistada.
Königsbergi sildade graafikul on neli paaritut tippu ehk kõik. Seega ei ole võimalik ületada kõiki sildu ilma ühest kaks korda läbimata.
FOORUMI UUDISED  Eetri teooria rüütlid | 23.02.2020 - 19:17: -> - Karim_Khaidarov. 23.02.2020 - 19:14: |
