Habiendo considerado este problema, en 1736 Euler demostró que esto era imposible y consideró un problema más general: qué áreas, separadas por brazos de río y conectadas por puentes, se pueden recorrer visitando cada puente exactamente una vez, y cuáles son imposibles.
Puentes de Königsberg">
Modifiquemos ligeramente el problema. Denotaremos cada una de las áreas consideradas, separadas por un río, por un punto, y los puentes que las conectan mediante un segmento de recta (no necesariamente una línea recta). Luego, en lugar de un plano, simplemente trabajaremos con una determinada figura formada por segmentos de curvas y rectas. En matemáticas modernas, estas figuras se llaman gráficos, los segmentos se llaman aristas y los puntos que conectan las aristas se llaman vértices. Entonces el problema original equivale al siguiente: ¿es posible dibujar una gráfica dada sin levantar el lápiz del papel, es decir, de tal manera que cada una de sus aristas se pase exactamente una vez?
Estos gráficos, que se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel, se denominan unicursales (del latín unus cursus, un camino) o eulerianos. Entonces, el problema se plantea de esta manera: ¿bajo qué condiciones un grafo es unicursal? Está claro que un gráfico unicursal no dejará de ser unicursal si se cambia la longitud o la forma de sus aristas, así como la ubicación de los vértices, siempre que la conexión de los vértices por aristas no cambie (en el sentido de que si dos vértices están conectados, deben permanecer conectados, y si están separados, entonces desconectados).
Si un grafo es unicursal, entonces el grafo topológicamente equivalente también será unicursal. La unicursidad es, por tanto, una propiedad topológica de un gráfico.
Primero, debemos distinguir los gráficos conectados de los desconectados. Las figuras conexas son aquellas en las que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por algún camino perteneciente a esta figura. Por ejemplo, la mayoría de las letras del alfabeto ruso están conectadas, pero la letra Y no: es imposible moverse de su mitad izquierda a la derecha a lo largo de los puntos que pertenecen a esta letra. La conectividad es una propiedad topológica: no cambia cuando la figura se transforma sin roturas ni pegados. Está claro que si un grafo es unicursal, entonces debe ser conexo.
En segundo lugar, considere los vértices del gráfico. Llamaremos índice de un vértice al número de aristas que se encuentran en este vértice. Ahora preguntémonos: ¿a qué pueden ser iguales los índices de los vértices de un grafo unicursal?
Puede haber dos casos aquí: la línea que dibuja el gráfico puede comenzar y terminar en el mismo punto (llamémoslo “camino cerrado”), o tal vez en diferentes puntos (llamémoslo “camino abierto”). Intente dibujar esas líneas usted mismo, con las intersecciones que desee: dobles, triples, etc. (para mayor claridad, es mejor que no haya más de 15 aristas).
Es fácil ver que en un camino cerrado todos los vértices tienen un índice par, y en un camino abierto exactamente dos tienen un índice impar (este es el principio y el final del camino). El hecho es que si un vértice no es ni inicial ni final, entonces, al llegar a él, es necesario salir de él; por lo tanto, cuantas aristas entren en él, saldrán de él el mismo número y el número total de aristas entrantes y salientes Los bordes serán uniformes. Si el vértice inicial coincide con el vértice final, entonces su índice también es par: el número de aristas que salieron de él, el mismo número que entró. Y si el punto de partida no coincide con el punto final, entonces sus índices son impares: hay que salir del punto de partida una vez, y luego, si volvemos a él, salir de nuevo, si volvemos de nuevo, salir de nuevo, etc. .; pero tenemos que llegar al final, y si luego lo dejamos, entonces tendremos que volver, etc.
Entonces, para que un gráfico sea unicursal, es necesario que todos sus vértices tengan índice par o que el número de vértices con índice impar sea igual a dos.
 |
Calcula los índices de sus vértices y asegúrate de que no es posible que sea unicursal. Por eso no lo lograste cuando quisiste rodear todos los puentes...
Surge la pregunta: si un gráfico conectado no tiene vértices con un índice impar o exactamente dos de esos vértices, entonces ¿el gráfico es necesariamente unicursal? ¡Se puede probar estrictamente que sí! Por tanto, la unicursidad está únicamente relacionada con el número de vértices con un índice impar.
Ejercicio: construye otro puente según el diagrama de los puentes de Königsberg, donde quieras, de modo que se pueda recorrer los puentes resultantes, habiendo visitado cada uno exactamente una vez; realmente sigue este camino.
Ahora hay otro dato interesante: ¡Resulta que cualquier sistema de áreas conectadas por puentes se puede evitar si es necesario visitar cada puente exactamente dos veces! Intenta probarlo tú mismo.
| NOTICIAS DEL FORO Teoría de los Caballeros del Éter | 10.01.2019 - 05:20: -> - Karim_Khaidarov. 30.09.2019 - 12:51: |
Los 7 puentes de la ciudad de Kaliningrado (Koningsberg) llevaron a la creación de la llamada teoría de grafos por parte de Leonhard Euler.
Un gráfico es una cierta cantidad de nodos (vértices) que están conectados por aristas. Dos islas y orillas del río Pregel, donde se encontraba, estaban conectadas por 7 puentes. El famoso filósofo y científico I. Kant, mientras caminaba por los puentes de Königsberg, se le ocurrió un problema conocido en todo el mundo como el problema de los "7 puentes de Königsberg": ¿es posible cruzar todos estos puentes y al final? ¿Regresar al mismo tiempo al punto de inicio de la ruta para caminar por cada puente una sola vez?
Muchos han intentado solucionar este problema tanto de forma práctica como teórica. Pero nadie lo logró. Por lo tanto, se cree que en el siglo XVII los vecinos iniciaron una tradición especial: al caminar por la ciudad, cruzar todos los puentes una sola vez. Pero, naturalmente, nadie lo consiguió.
En 1736, este problema interesó al científico Leonhard Euler, un destacado y famoso matemático y miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, quien pudo encontrar una regla gracias a la cual era posible resolver este enigma. En el curso de sus juicios, Euler llegó a las siguientes conclusiones: 1. El número de vértices impares (vértices a los que conduce un número impar de aristas) del gráfico debe ser par. No puede haber un gráfico que tenga un número impar de vértices impares. 2. Si todos los vértices de la gráfica son pares, entonces puedes dibujar una gráfica sin levantar el lápiz del papel, y puedes comenzar desde cualquier vértice de la gráfica y terminar en el mismo vértice. 3. No se puede dibujar un gráfico con más de 2 vértices impares de un solo trazo.
Esto lleva a la conclusión de que es imposible cruzar los siete puentes sin cruzar uno de ellos dos veces. Posteriormente, esta teoría de grafos se convirtió en la base para el diseño de sistemas de comunicación y transporte y se utilizó ampliamente en programación, informática, física, química y muchas otras ciencias y campos.
Es de destacar que los historiadores creen que hay una persona que resolvió este problema, que pudo cruzar todos los puentes solo una vez, aunque en teoría...
Y fue así. El káiser (es decir, el emperador) Guillermo era famoso por su sencillez de pensamiento, su franqueza y su “cerrazón de miras”. Una vez estuvo a punto de ser víctima de una broma que le gastaron ingenios aprendidos: los bromistas le mostraron al Kaiser un mapa de la ciudad de Königsberg y le pidieron que intentara resolver este famoso problema, que, por definición, era irresoluble. Pero Kaiser sólo pidió una hoja de papel y un bolígrafo, y especificó que lo resolvería en sólo un minuto y medio. Los científicos quedaron asombrados: Wilhelm escribió: "Ordeno la construcción del octavo puente en la isla de Lomze". Eso es todo, el problema está resuelto... Y así apareció en Kaliningrado un nuevo octavo puente sobre el río, llamado así en honor del Káiser. Incluso un niño puede resolver el problema con ocho puentes...
¿Sabías que los siete puentes de la ciudad de Koeningsberg (ahora esta ciudad se llama Kaliningrado) se convirtieron en los “culpables” de la creación de la teoría de grafos por parte de Leonhard Euler (un gráfico es un cierto número de nodos (vértices) conectados por aristas) . Pero, ¿cómo ha ocurrido esto?
Dos islas y orillas del río Pregel, en el que se encontraba Koeningsberg, estaban conectadas por 7 puentes. El famoso filósofo y científico Immanuel Kant, caminando por los puentes de la ciudad de Königsberg, planteó un problema conocido en todo el mundo como el problema de los 7 puentes de Königsberg: ¿es posible cruzar todos estos puentes y al mismo tiempo Regrese al punto de inicio de la ruta para cruzar cada puente solo 1 vez. Muchos han intentado solucionar este problema tanto de forma práctica como teórica. Pero nadie lo consiguió, ni se pudo demostrar que fuera imposible, ni siquiera teóricamente. Por lo tanto, según datos históricos, se cree que en el siglo XVII los vecinos formaron una tradición especial: mientras caminaban por la ciudad, cruzar todos los puentes una sola vez. Pero, como saben, nadie lo logró.
En 1736, este problema interesó al científico Leonhard Euler, un destacado y famoso matemático y miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Escribió sobre esto en una carta a su amigo, el científico, ingeniero y matemático italiano Marioni, fechada el 13 de marzo de 1736. Encontró una regla mediante la cual podía obtener fácil y simplemente una respuesta a esta pregunta de interés para todos. En el caso de la ciudad de Koeningsberg y sus puentes esto resultó imposible.
En el curso de su razonamiento, Euler llegó a las siguientes conclusiones teóricas:
El número de vértices impares (vértices a los que conduce un número impar de aristas) del gráfico debe ser par. No puede haber un gráfico que tenga un número impar de vértices impares.
Si todos los vértices de la gráfica son pares, entonces puedes dibujar una gráfica sin levantar el lápiz del papel, y puedes comenzar desde cualquier vértice de la gráfica y terminar en el mismo vértice.
Un gráfico con más de 2 vértices impares no se puede dibujar de un solo trazo 
Si consideramos esta regla para los 7 puentes de Koeningsberg, entonces las partes de la ciudad en la figura (gráfico) se indican mediante vértices y los puentes, mediante aristas que conectan estos vértices. La gráfica de los 7 puentes de Königsberg tenía 4 vértices impares (es decir, todos sus vértices eran impares), por lo tanto, es imposible cruzar los 7 puentes sin pasar dos veces por ninguno de ellos.
Parecería que un descubrimiento tan inusual no puede tener ninguna aplicación real ni beneficio práctico. Pero se encontró un uso, y alguno más. La teoría de grafos, creada por Leonhard Euler, formó la base para el diseño de sistemas de comunicación y transporte; se utiliza en programación e informática, física, química y muchas otras ciencias y campos.
Pero lo más interesante es que los historiadores creen que hay una persona que resolvió este problema; pudo cruzar todos los puentes solo una vez, aunque en teoría, pero había una solución... Y así sucedió...
El káiser (emperador) Guillermo era famoso por su sencillez de pensamiento, su franqueza y su “estrechez de miras” militar. Un día, mientras estaba en un evento social, estuvo a punto de ser víctima de una broma que las mentes eruditas presentes en la recepción decidieron gastarle. Le mostraron al Kaiser un mapa de la ciudad de Königsberg y le pidieron que intentara resolver este famoso problema que, por definición, era simplemente irresoluble. Para sorpresa de todos, el Káiser pidió un papel y un bolígrafo, y al mismo tiempo precisó que resolvería este problema en apenas un minuto y medio. Los atónitos científicos no podían creer lo que oían, pero rápidamente le encontraron tinta y papel. El káiser puso el papel sobre la mesa, cogió un bolígrafo y escribió: “Ordeno la construcción del octavo puente en la isla de Lomze”. Y todo el problema está solucionado.....
Así surgió en la ciudad de Königsberg un nuevo octavo puente sobre el río, que recibió el nombre de Puente Kaiser. Y ahora hasta un niño podrá resolver el problema con 8 puentes .
Soluciones no convencionales al problema.
La "solución" de Kaiser
En el mapa de la antigua Königsberg había otro puente, que apareció un poco más tarde y que conectaba la isla de Lomse con el lado sur. Este puente debe su aparición al propio problema de Euler-Kant. Esto sucedió bajo las siguientes circunstancias.
El emperador Guillermo era conocido por su franqueza, sencillez de pensamiento y su "estrechez de miras" militar. Un día, mientras estaba en un evento social, estuvo a punto de ser víctima de una broma que las mentes eruditas presentes en la recepción decidieron gastarle. Le mostraron al Kaiser un mapa de Königsberg y le pidieron que intentara resolver este famoso problema, que por definición era irresoluble. Para sorpresa de todos, el Káiser pidió un bolígrafo y un papel, diciendo que resolvería el problema en un minuto y medio. El estupefacto establishment alemán no podía creer lo que oía, pero rápidamente encontraron papel y tinta.
El káiser puso el papel sobre la mesa, tomó un bolígrafo y escribió lo siguiente: “Ordeno la construcción del octavo puente en la isla de Lomze”. Así apareció en Königsberg nuevo puente, que se llamó "Puente Kaiser". Y ahora hasta un niño podría resolver el problema con ocho puentes.
ver también
Literatura
Fundación Wikimedia. 2010.
La ciudad de Königsberg, que surgió en el siglo XIII, constaba formalmente de tres asentamientos urbanos independientes, varios asentamientos y ciudades. Estaban ubicadas en las orillas e islas del río Pregel, que dividía la ciudad en cuatro partes principales: Altstadt y Löbenicht, Kneiphof, Lomse y Fortstadt. Para la comunicación y el comercio entre asentamientos urbanos se comenzaron a construir puentes en el siglo XIV.
Debido al constante peligro militar de Polonia y Lituania, se construyó un puente defensivo frente a cada uno de los puentes. Torre de vigilancia con puertas basculantes o plegables con cerradura de roble con revestimiento de hierro forjado. Y los propios puentes adquirieron el carácter de estructuras defensivas.
Los puentes fueron escenario de procesiones, actos religiosos y festivos y procesiones, y en los años de los llamados. “En la primera era rusa” (1758 - 1762), cuando Königsberg pasó a formar parte del Imperio ruso durante la Guerra de los Siete Años, a través de los puentes se celebraban procesiones religiosas ortodoxas. Una vez se dedicó una procesión religiosa a la fiesta ortodoxa de la Bendición del Agua del Río Pregel, lo que despertó el interés genuino de los residentes indígenas de Königsberg.
A principios del siglo XX, los siete puentes eran trazables, pero debido al debilitamiento y la disminución de la navegación a lo largo del río Pregel, los tres puentes que han sobrevivido hasta el día de hoy ya no son trazables.
Puente de tiendas, Krämerbrücke
El más antiguo de los siete puentes de Königsberg es Puente Lavochni(Krämerbrücke), que conectaba la ciudad de Altstadt (Castillo Real) y la isla de Kneiphof.
Construido en 1286, en 1900 se construyó un nuevo puente metálico en el lugar del antiguo puente de madera. El nombre del puente indica que él mismo y el territorio adyacente del río Pregolya eran una concentración de comercio.
A la entrada del puente se instaló una estatua de Hans Zagan, hijo de un zapatero de Kneiphof. Según la leyenda, durante la batalla entre las tropas de la Orden Teutónica y los Litvin cerca de Rudau (pueblo de Melnikovo, región de Zelenograd), Hans recogió el estandarte de la orden de las manos de un caballero herido. Los nazis, que llegaron al poder en Alemania en 1933, por razones ideológicas y morales, demolieron el monumento a Zagan, porque él era judío.
En 1972 fue demolido debido a la construcción del Puente Estakadny.
Puente Lavochni. Al fondo, los almacenes y la zona de carga de barcos - Lastadie
Puente Lavochny con almacenes-graneros portuarios Speicher (Speicher) en la orilla derecha del río Pregel. Distritos Laak y Hundegatt. A la izquierda está la isla Kneiphof.
Puente Verde, GrüneBrücke
El segundo puente más antiguo de Königsberg es Puente Verde. Construido en 1322. El puente se quemó en 1582, fue reconstruido en 1590 y existió en forma de madera hasta 1907, cuando fue reemplazado por un puente de metal.
Conectaba la isla de Kneiphof y la zona de Fortstadt a través del antiguo brazo del río Pregolya para viajar desde Castillo real al barrio de Ponart. El nombre del puente en sí proviene del color de la pintura que se utilizó para pintar los vanos y soportes del puente.
En el siglo XVII fue Puente Verde Se oyó llegar cartas a Königsberg. esperando correo Puente Verde Los empresarios de la ciudad se reunieron y, mientras esperaban la correspondencia, discutieron sus asuntos. En 1623, exactamente alrededor Puente Verde Se construyó la Bolsa Comercial de Königsberg.
En 1972, el Puente Verde, al igual que el Puente Lavochny, fue víctima del Puente de Caballete.
Puente Verde. Vista desde la isla Kneiphof
Vista del Puente Verde y la Bolsa Mercantil
Puente de menudencias (en funcionamiento), Koettel brücke
En 1377, tras los puentes Lavochny y Green, aguas arriba del antiguo cauce del río Pregel, se construyó un Menudencias o Obrero un puente que también conectaba la isla de Kneiphof y la zona de Forstadt.
Ambas opciones de traducción no son ideales, porque... El nombre alemán del puente proviene de Sajonia y en la versión rusa significa aproximadamente "puente auxiliar, de trabajo, destinado al transporte de basura". Lo más probable es que deba su nombre al matadero cercano.
En 1886, el de madera fue reconstruido y convertido en hierro.
Durante la Segunda Guerra Mundial Puente de menudencias fue destruido y nunca reconstruido.
Puente de menudencias. Vista de la Bolsa Mercantil desde la isla Kneiphof
Puente de menudencias. Vista desde el Puente Verde
Puente de Forja, Schmitderbrüke
En 1397, en Königsberg, aguas arriba del nuevo cauce del río Pregel, se erigió el puente Forge que, al igual que el puente Lavochny, conectaba la ciudad de Altstadt con la isla de Kneiphof.
Tradicionalmente, los herreros se encontraban cerca de este puente a orillas del río Pregel.
En 1787, el puente estaba muy desgastado y deteriorado y fue sustituido por un puente nuevo, pero también de madera. En 1896 se erigió un nuevo puente de metal en el lugar del antiguo puente de madera.
El puente Forge fue destruido durante la Segunda Guerra Mundial y nunca fue reconstruido.
Puente de forja con torre de observación
Puente Kuznechny
Puente de madera, Holzbrücke
En 1404 se construyó un puente cuádruple entre Altstat y la isla de Lomze, que se llamó Wooden.
En el Puente de Madera había placa conmemorativa con extractos de la Crónica prusiana. La propia obra de diez volúmenes de Albrecht Lukhel David hablaba de la antigua Prusia pagana y de la historia de la Orden Teutónica hasta 1410.
En 1904, se erigió un nuevo puente de metal en el lugar del antiguo Puente de Madera, pero el nombre del puente siguió siendo el mismo. El Puente de Madera se conserva así hasta el día de hoy.
Puente de madera. Vista de la isla de Kneiphof
Puente Alto, Hohebrücke
Construido en Königsberg en 1520 para conectar la isla de Lomse y la región de Forstadt.
Fue reconstruido en 1882, sus partes de madera fueron reemplazadas por otras de metal. Ese mismo año, junto a Puente Alto En la zona de Forstadt se construyó una casa puente. Este hermoso y pequeño edificio de estilo neogótico ha sobrevivido hasta nuestros días.
En 1937 se desmanteló el antiguo y se construyó cerca uno nuevo de metal con soportes de hormigón. De viejo Puente Alto Se han conservado soportes de ladrillos de hormigón.
Puente Alto. Vista de la isla de Lomse
Puente Alto. Vista desde la isla de Lomse hasta el distrito de Forstadt
Puente de la Miel, Honigbrücke
El más joven de los siete puentes de Königsberg unía la isla de Lomse y la isla de Kneiphof.
Existen varias versiones sobre el origen del nombre. Puente de miel. Según uno de ellos, Besenrode, miembro del ayuntamiento de Kneiphof, pagó la construcción del puente con barriles de miel, mientras que con miel se pagó la construcción de un puesto comercial cerca del puente. Pero estas versiones probablemente sean sólo leyendas urbanas.
Lo más probable es que el nombre del puente provenga de la palabra "hon", que significa burla (burla). Con la construcción de este puente, los habitantes de la isla de Kneiphof obtuvieron la ruta más corta hacia la isla de Lomse, sin pasar por el Puente Alto, que pertenecía al Altstadt. Por lo tanto, se convirtió, por así decirlo, en una burla de la principal ciudad de Königsberg: Altshadt. Por esto, la gente de Altstadt apodó a los Kneiphofites, los lamedores de miel.
En 1882, se erigió un nuevo puente de metal en el lugar del antiguo Puente de la Miel.
Puente de Miel. Vista de la isla Kneiphof y la catedral.
Ha sobrevivido hasta nuestros días y se utiliza principalmente como puente peatonal, ya que actualmente solo la Catedral se encuentra en la isla Kneiphof, la principal atracción de la ciudad de Kaliningrado. Hoy en día, los recién casados cuelgan en las barandillas candados con sus nombres y la fecha de la boda. Puente de miel, y las llaves de las cerraduras se rompen y se arrojan al río Pregel.
El problema de los siete puentes de Königsberg, Leonhard Euler y la teoría de grafos
Desde la antigüedad, los habitantes de Königsberg luchan con un enigma: ¿es posible cruzar todos los puentes caminando sobre cada uno de ellos sólo una vez? Este problema se resolvió tanto teóricamente, sobre el papel, como en la práctica, caminando, pasando por estos mismos puentes. Nadie pudo demostrar que esto fuera imposible, pero nadie pudo realizar un paseo tan “misterioso” a través de los puentes.
En 1736, el famoso matemático, miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, Leonhard Euler, se propuso resolver el problema de los siete puentes. Ese mismo año le escribió sobre esto al ingeniero y matemático Marioni. Euler escribió que había encontrado una regla mediante la cual no es difícil calcular si es posible cruzar todos los puentes sin cruzar ninguno de ellos dos veces. Esto es imposible en los siete puentes de Königsberg.
En un diagrama de una ciudad (gráfico), los bordes del gráfico corresponden a puentes y los vértices del gráfico (los puntos en los que se conectan las líneas) corresponden a partes de la ciudad. Reflexionando sobre el problema, Euler llegó a las siguientes conclusiones:
Los vértices del gráfico pueden ser pares o impares.- con un trazo del lápiz puedes dibujar un gráfico, todos cuyos vértices son pares, puedes comenzar en cualquier vértice del gráfico y terminar en el mismo vértice
- el número de vértices impares (aquellos a los que conduce un número impar de aristas) debe ser impar; un gráfico con un número par de vértices impares no existe
- Es imposible dibujar un gráfico con más de dos vértices impares de un solo trazo.
La gráfica de los puentes de Königsberg tiene cuatro vértices impares, es decir, todo. Por tanto, no es posible cruzar todos los puentes sin pasar uno dos veces.
NOTICIAS DEL FORO  Teoría de los Caballeros del Éter | 23.02.2020 - 19:17: -> - Karim_Khaidarov. 23.02.2020 - 19:14: |
